LO SPAZIO DI MINKOWSKI
Nello spazio a tre dimensioni spaziali, in cui viviamo, siamo abituati alla geometria Euclidea. Immaginiamo per semplicità di disegnare solo due dimensioni sul piano (X e Y) e di chiederci quali siano le coordinate dei punti che hanno tutti la stessa distanza d dall’origine (origine: X = 0, Y = 0). La risposta è molto semplice: sono i punti della circonferenza di raggio d e centro l’origine, le cui coordinate soddisfano quindi la condizione
X2 + Y2 = d2
che, in sostanza, è anche il teorema di Pitagora. Se scelgo un sistema di riferimento diverso con assi X‘e Y‘ ma con la stessa origine, la circonferenza resta identica e vale
X‘2 + Y‘2 = d2
La relatività speciale di Einstein (ma anche di Minkowsky, Poincaré, Lorentz e tanti altri che hanno dato il loro contributo) ci impone di considerare il tempo alla stregua delle altre coordinate spaziali. È un cambiamento radicale della nostra intuizione imposto dalla costanza della velocità della luce nel vuoto: il giudizio sulla simultaneità di due eventi dipende dall’osservatore.
Facciamo un esempio: immaginiamo di vedere nella notte esplodere dei fuochi d’artificio a distanza da noi e in posti diversi. Diremo che due esplosioni sono simultanee se le vediamo nello stesso istante: ma un osservatore in moto veloce, purché uniforme, rispetto a noi non le vedrebbe nello stesso istante!
Viviamo dunque in quattro dimensioni: le tre spaziali più il tempo che dipende anch’esso dall’osservatore; i punti in questo spazio sono gli eventi . Di nuovo, per semplicità, limitiamoci a due dimensioni che possiamo disegnare su di un piano ma, questa volta, uno degli assi coordinati sia quello del tempo (X,T). I punti del piano che corrispondono agli eventi di un raggio di luce che parte dall’origine sono sulla retta X = cT dove c è la velocità della luce. Per praticità grafica possiamo pensare di utilizzare un asse dei tempi su cui segniamo cT: in questo modo i raggi luminosi che partono dall’origine sono le bisettrici dei quadranti del sistema di assi (X,cT).
In questo piano un evento “è quello che è” ma se lo considero come appare a un altro osservatore in moto (un altro sistema di assi, eventualmente non ortogonali) sarà caratterizzato da altre coordinate (X‘,cT‘). Per rispettare la costanza della velocità della luce per i due osservatori dovrà restare invariata la quantità:
c2 T2 – X2 = S2 = c2 T‘2 – X‘2
che chiamerò l’intervallo, al quadrato, tra l’evento considerato e l’evento origine.
Se si confronta con il caso Euclideo, citato all’inizio, ora i punti che sono allo stesso intervallo dall’origine disegnano dei rami di iperbole equilatera contenuti tra le bisettrici degli assi di partenza. La “distanza” non è più la somma dei quadrati delle coordinate, come nel caso della circonferenza, ma è l’intervallo.
La struttura dello spazio a quattro dimensioni di Minkowsky è caratterizzata proprio da questa proprietà di invarianza dell’intervallo.
